Как найти модуль упругости

Объёмный мо́дуль упру́гости

(модуль объёмного сжатия) — характеристика способности вещества сопротивляться всестороннему сжатию. Эта величина определяет, какое нужно приложить внешнее давление для уменьшения объёма в 2 раза К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)[
источник не указан 2012 дней
]. Например, у воды объёмный модуль упругости составляет около 2000 МПа — это означает, что для уменьшения объёма воды на 1 % необходимо приложить внешнее давление 20 МПа. С другой стороны, при увеличении внешнего давления на 0,1 МПа объём воды уменьшается на 1/20000 часть. Единицей измерения объёмного модуля упругости в Международной системе единиц (СИ) является паскаль (русское обозначение: Па; международное: Pa)[1].

Термодинамические соотношения

Строго говоря, объёмный модуль упругости является термодинамической величиной, и необходимо определить объёмный модуль упругости в зависимости от условий изменения температуры: при постоянной температуре (изотермический K_T), при постоянной энтропии (адиабатический K_S) и т. д. В частности, подобные различия обычно важны для газов.

В случае идеального газа изотермический и адиабатический модули объёмной упругости выражаются простыми формулами. Так, из уравнения изотермы идеального газа p = \frac {\mathrm{const}}{V} следует:

K_T=P\, .

Используя уравнение адиабаты p \, \cdot V^\gamma = \mathrm{const}, можно получить

K_S=\gamma P,

где \gamma — показатель адиабаты.

Приведённые уравнения, выполняющиеся точно для идеальных газов, применительно к реальным газам становятся приближёнными.

Для жидкостей объёмный модуль упругости K

и плотность
ρ
определяют скорость звука
c
(волны давления (
англ.
)), согласно формуле Ньютона-Лапласа
c=\sqrt{\frac{K}{\rho}}.

Коэффициент объемного сжатия

Гидравлика. Гидростатика

Основное назначение сборника – дать студентам материал, который позволит выработать навыки применения теоретических сведений к решению конкретных задач технического характера и тем самым освоить практику гидравлических расчётов.

Данный курс является основной теоретической дисциплиной для специальностей 2903, 2908, 2909, 1507, 1709.

Данный сборник содержит задачи по гидростатике и включает разделы: “Физические свойства жидкости”, “Гидростатическое давление” и “Относительный покой жидкости”.

Каждый раздел сборника содержит достаточно полные сведения из теории, касающейся материала данного раздела, методические указания и примеры решения некоторых типовых задач.

В четырёх приложениях даются материалы справочного характера, которые необходимы для решения задач.

Наличие в сборнике обширного и разнообразного материала позволяет составить индивидуальное задание для каждого студента.

После ознакомления с соответствующим теоретическим материалом и методическими указаниями по решению типовых задач, следует переходить к самостоятельному выполнению полученного задания.

Каждое задание состоит из нескольких задач, номера и варианты которых выдаются преподавателем. Задание выполняется на листах формата А4, необходимые чертежи выполняются с соблюдением выбранного масштаба.

ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ

Сведения из теории

Жидкостью называется физическое тело, обладающее двумя отличительными особенностями: незначительным изменением своего объема под действием больших внешних сил и текучестью, легкоподвижностью, т.е. изменением своей формы под действием даже незначительных внешних сил. Одной из основных механических характеристик жидкости является плотность.

Плотность.

Плотностью r (кг/м 3 ) называется масса единицы объема жидкости:

, (1.1)

где m –

масса жидкого тела, кг;
W
– объем, м 3 .

Плотность жидкостей уменьшается с увеличением температуры. Исключение представляет вода в диапазоне температур от 0 до 4 0 С, когда ее плотность увеличивается, достигая наибольшего значения при температуре 4 0 С r =

1000 кг/м 3 .

Удельный вес

Удельным весом g (Н/м 3 ) жидкости называется вес единицы объема этой жидкости:

, (1.2)

где G

– вес жидкого тела, Н;
W
– объем, м 3 .

Для воды при температуре 4 0 С g =

9810 Н/м 3 .

Между плотностью и удельным весом существует связь:

, (1.3)

где g

– ускорение свободного падения, равное 9,81 м/с 2 .

Сопротивление жидкостей изменению своего объема под действием давления и температуры характеризуется коэффициентами объемного сжатия и температурного расширения.

Коэффициент объемного сжатия

Коэффициент объемного сжатия b w (Па -1 ) – это относительное изменение объема жидкости при изменении давления на единицу:

, (1.4)

где D W

– изменение объема
W
; D r – изменение плотности r , соответствующие изменению давления на величину D
p
.

Величина, обратная коэффициенту объемного сжатия, называется модулем упругости жидкостей Eж

(Па)

. (1.5)

Значение модуля упругости жидкостей зависит от давления и температуры. Если принять, что приращение давления , а изменение объема то:

; (1.6)

. (1.7)

1.1.4. Коэффициент температурного расширения

1. Коэффициент температурного расширения b t
   ( 0 С) -1 , выражает относительное изменение объема жидкости при изменении температуры на один градус:

, (1.8)

где D W

– изменение объема
W
, соответствующее изменению температуры на величину D
t
.

Коэффициент температурного расширения воды увеличивается с возрастанием температуры и давления; для большинства других капельных жидкостей b t

с увеличением давления уменьшается. Если принять, что приращение температуры D
t
=
t – t
0, а изменение объема

; (1.9)

. (1.10)

Вязкостью называется свойство жидкости оказывать сопротивление перемещению одной части жидкости относительно другой. Вязкость проявляется только при движении жидкости и сказывается на распределении скоростей по живому сечению потока (рис. 1.1).

Согласно гипотезе Ньютона сила внутреннего трения F

в жидкостях пропорциональна градиенту изменения скорости , площади соприкосновенияслоев
S
, зависит от рода жидкости и очень незначительно зависит от давления.

, (1.11)

где S –

площадь соприкасающихся слоев, м 2 ;
du –
скорость смещения слоя “
b
” относительно слоя “
a
“, м/с;
dy –
расстояние, на котором скорость движения слоев изменилась на
du
, м;
–
градиент скорости, изменение скорости по нормали к направлению движения (с -1 ); m – коэффициент динамической вязкости (Па · с).

Если силу трения F

отнести к единице площади соприкасающихся слоев, то получим величину касательного напряжения t , и тогда (1.11) примет вид:

. (1.12)

Из (1.12) следует, что коэффициент динамической вязкости может быть определен как:

. (1.13)

Из (1.13) нетрудно установить физический смысл коэффициента динамической вязкости. При градиенте скорости =

1
; m
= t и выражает силу внутреннего трения, приходящуюся на единицу площади поверхности соприкасающихся слоев жидкости.

В практике, для характеристики вязкости жидкости, чаще применяют не коэффициент динамической вязкости, а коэффициент кинематической вязкости n (м 2 /с). Коэффициентом кинематической вязкости называется отношение коэффициента динамической вязкости к плотности жидкости:

. (1.14)

Вязкость жидкости зависит от рода жидкости, от температуры и от давления.

Зависимость вязкости минеральных масел, применяемых в гидросистемах, от давления p

при возрастании его до 50 МПа, можно определять с помощью приближенной эмпирической формулы:

, (1.15)

где n p

и
n
– кинематическая вязкость соответственно при давлении
p
и 0,1 МПа;
K
– опытный коэффициент, зависящий от марки масла: для легких масел (n 50 -6 м 2
/
с)
К =
0,02, для тяжелых масел (n
50
> 15 10 -6 м 2
/
с)
К =
0,03. При незначительных давлениях изменением вязкости пренебрегают. С повышением температуры вязкость жидкости уменьшается. Зависимость коэффициента кинематической вязкости от температуры определяется по эмпирической формуле:

.

(1.16)

Для смазочных масел, применяемых в машинах и гидросистемах, рекомендуется следующая зависимость:

, (1.17)

где n t – кинематическая вязкость при температуре t; n 50 –

кинематическая вязкость при температуре 50
0
С;
n
– показатель степени, зависящий от n 50, определяемый по формуле:

. (1.18)

Вязкость жидкости определяют при помощи вискозиметра Энглера и выражают в градусах Энглера ( 0 Е). Градус Энглера ( 0 Е) есть отношение времени истечения испытуемой жидкости ко времени истечения дистиллированной воды. Для перехода от вязкости в градусах Энглера к коэффициенту кинематической вязкости n применяется формула Убеллоде:

. (1.19)

Вязкость также определяют капиллярным вискозиметром Оствальда. Коэффициент кинематической вязкости в этом случае определяют по формуле:

, (1.20)

где с

– постоянная прибора;
Tж
– время истечения жидкости, с.

Дата добавления: 2015-12-08 ; ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Некоторые значения

Приблизительные значения объёмного модуля упругости (К) для некоторых материалов

Приблизительный значения объёмного модуля упругости (K) для других веществ

Физические свойства жидкостей

Глава 1. ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ

Основными физическими свойствами жидкости являются: текучесть, плотность, удельный вес, вязкость, сжимаемость, температурное расширение.

Плотность жидкости – физическая величина, численно равная отношению массы жидкости к ее объёму.

(1.1)

где r

– плотность жидкости,
кг
/
м
3 ;

m

– масса жидкости;
кг
;

W

– объём жидкости,
м
3 .

Удельный вес – физическая величина, численно равная отношению веса жидкости к ее объёму.

(1.2)

где g

– удельный вес жидкости,
Н
/
м
3 ;

Между удельным весом g

и плотностью
r
имеется зависимость

(1.3

где g

= 9,81
м
/
с
2 – ускорение свободного падения.

Значения r

и
g
для воды и некоторых других жидкостей при различной температуре приведены в приложении 1.

Вязкость – свойство жидкости оказывать сопротивление относительному сдвигу смежных слоёв. Вязкость характеризуется коэффициентами динамической вязкости m

,
Па×с
, и
кинематической вязкости n
,
м
/
с
. Между этими коэффициентами имеется зависимость

(1.4)

Значения коэффициентов динамической и кинематической вязкости для некоторых жидкостей приведены в приложении 2.

Сжимаемость – свойство жидкости изменять свой объём при изменении давления. Сжимаемость характеризуется коэффициентом объёмного сжатия b

w, который можно определить по формуле

(1.5)

где b

w – коэффициент объёмного сжатия, 1/
Па
;

W

– первоначальный объём жидкости,
м
3 ;

DW

– изменение объёма жидкости,
м
3 ;

Dp

– изменение давления,
Па
.

Величина, обратная коэффициенту объёмного сжатия, называется модулем объёмной упругости К

. Модуль объёмной упругости измеряется в
Па
.

(1.6)

Коэффициенты объёмного сжатия жидкостей мало меняются при изменении температуры и давления. Значение коэффициентов объёмного сжатия и модулей упругости для некоторых жидкостей приведены в приложении 3.

Температурное расширение – свойство жидкости изменять свой объём при изменении температуры. Температурное расширение характеризуется коэффициентом температурного расширения , который может быть определен из выражения

(1.7)

где – коэффициент температурного расширения, 1/К

;

W

– первоначальный объём жидкости,
м
3 ;

– изменение объёма жидкости, м

3 ;

– изменение температуры, К

.

Коэффициенты температурного расширения для некоторых жидкостей приведены в приложении 4.

Задачи

1.1. Определить массу воды в рукаве диаметром 51 мм

и длиной 20
м.
Решение. Масса воды определяется из формулы (1.1)

Плотность воды по приложению 1

1.2. Определить вес воды в рукавах диаметром 66 мм

и 77
мм
и дли-ной 20
м
.

1.3. Определить массу дизельного мазута, находящегося в цистерне объёмом 50 м

3 , если плотность мазута составляет 920
кг
/
м
3 .

1.4. Определить, какой объём займет нефть, имеющая массу 20×10 3 кг

и плотность 900
кг
/
м
3 .

1.5. Определить плотность нефтепродуктов, если их масса составляет 17,5×10 3 кг

, объём 20
м
3 .

1.6. Определить вес этилового спирта в объёме 20 литров.

1.7. Уровень мазута в вертикальном цилиндрическом баке диаметром 2 м

понизился на 0,5
м
. Определить массу израсходованного мазута, если его плотность при температуре 20 °
С
равна 990
кг
/
м
3 .

1.8. При гидравлических испытаниях допускается утечка воды, которая за одни сутки не должна превышать 3 л

с квадратного метра смоченной поверхности. Возможно ли принять в эксплуатацию резервуар прямоугольной формы, имеющий размеры в плане 12´6
м
, в котором уровень воды за одни сутки понизился с 3,5
м
до 3,48
м
. Определить массу убывшей воды.

Решение. Объём убывшей воды составил

Масса убывшей воды

Площадь смоченной поверхности

Утечка воды с одного квадратного метра смоченной поверхности при гидравлических испытаниях

что превышает установленную норму.

1.9. Определить, возможно ли принять в эксплуатацию цилиндрический резервуар диаметром 12 м

, в котором уровень воды за одни сутки понизился с 5
м
до 4,985
м
.

1.10. Определить предельную массу воды, убывшей за одни сутки в результате гидравлических испытаний цилиндрического резервуара диаметром 18 м

. Определить предельное снижение уровня воды, если первоначальный уровень составлял 3,9
м
.

1.11. Определить коэффициент динамической вязкости нефти, если коэффициент кинематической вязкости составляет 0,624×10 -4 м

2 /
с
. Плотность нефти 750
кг
/
м
3 .

1.12. Водовод пожарного водопровода диаметром 300 мм

и длиной 50
м
, подготовленный к гидравлическим испытаниям, заполнен водой при атмосферном давлении. Определить объём воды, которую необходимо дополнительно подать в водовод, чтобы избыточное давление в нем поднялось до 5
МПа
. Деформацией труб водовода пренебречь.

Решение. Из уравнения (1.5) находим, что объём воды, который необходимо дополнительно подать в водовод, определяется как

Коэффициент объёмного сжатия воды

Первоначальный объём воды

1.13. При гидравлическом испытании технологического трубопровода длиной 200 м

и диаметром 250
мм
, заполненного керосином, давление было поднято до 1,5
МПа
. Через один час давление упало до 1,0
МПа
. Определить объём вытекшего через неплотность керосина. Коэффициент объёмного сжатия керосина принять = 80×10 -11 1/
Па
. Деформацией трубопровода пре- небречь.

1.14. Манометр на технологической емкости, полностью заполненной нефтью, показывает 0,5 МПа

. При выпуске 40
л
нефти показания манометра упали до 0,1
МПа
. Определить объём ёмкости, если коэффициент объёмного сжатия нефти = 80×10 -11 1/Па.

1.15. В вертикальном цилиндрическом резервуаре диаметром 5 м

находится 1,2×10 5
кг
нефти, плотность которой при 0 °
С
составляет 800
кг
/
м
3 . Определить колебания уровня нефти в резервуаре при изменении температуры от 0 °
С
до 30 °
С
.

1.16. Определить колебания уровня воды в баке водонапорной башни при изменении температуры от 10 °С

до 35 °
С
. В водонапорном баке диаметром 3
м
находится 20
м
3 воды. Коэффициент температурного расширения воды принять равным 2×10 -4 1/
К
.

1.17. Предельная высота уровня бензола в вертикальном цилиндрическом резервуаре диаметром 12 м

равна 10
м
при температуре 10 °
С
. Определить, до какого уровня возможно налить бензол при возможном повышении температуры до 30 °
С
. Расширением резервуара пренебречь.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения:
Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете.
8406 – | 7319 – или читать все.

193.151.241.65 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock! и обновите страницу (F5)

очень нужно

Примечания

1. [hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/permot3.html Bulk Elastic Properties]. hyperphysics
   . Georgia State University. [www.webcitation.org/6AIhR7XkB Архивировано из первоисточника 30 августа 2012].
2. (1985) «Calculation of bulk moduli of diamond and zinc-blende solids». Phys. Rev. B32
   : 7988–7991. DOI:10.1103/PhysRevB.32.7988. Bibcode: [adsabs.harvard.edu/abs/1985PhRvB..32.7988C 1985PhRvB..32.7988C].
3. Fluegel, Alexander
   [www.glassproperties.com/bulk_modulus/ Bulk modulus calculation of glasses].
   glassproperties.com
   . [www.webcitation.org/6AIhRZh2a Архивировано из первоисточника 30 августа 2012].

Отрывок, характеризующий Объёмный модуль упругости

– Ежели кто ко мне еще будет соваться, – сказал он, редко пропуская слова сквозь стиснутые и тонкие губы, – я того сейчас спущу вот сюда. Ну!… Сказав «ну»!, он повернулся опять, отпустил руки, взял бутылку и поднес ко рту, закинул назад голову и вскинул кверху свободную руку для перевеса. Один из лакеев, начавший подбирать стекла, остановился в согнутом положении, не спуская глаз с окна и спины Долохова. Анатоль стоял прямо, разинув глаза. Англичанин, выпятив вперед губы, смотрел сбоку. Тот, который останавливал, убежал в угол комнаты и лег на диван лицом к стене. Пьер закрыл лицо, и слабая улыбка, забывшись, осталась на его лице, хоть оно теперь выражало ужас и страх. Все молчали. Пьер отнял от глаз руки: Долохов сидел всё в том же положении, только голова загнулась назад, так что курчавые волосы затылка прикасались к воротнику рубахи, и рука с бутылкой поднималась всё выше и выше, содрогаясь и делая усилие. Бутылка видимо опорожнялась и с тем вместе поднималась, загибая голову. «Что же это так долго?» подумал Пьер. Ему казалось, что прошло больше получаса. Вдруг Долохов сделал движение назад спиной, и рука его нервически задрожала; этого содрогания было достаточно, чтобы сдвинуть всё тело, сидевшее на покатом откосе. Он сдвинулся весь, и еще сильнее задрожали, делая усилие, рука и голова его. Одна рука поднялась, чтобы схватиться за подоконник, но опять опустилась. Пьер опять закрыл глаза и сказал себе, что никогда уж не откроет их. Вдруг он почувствовал, что всё вокруг зашевелилось. Он взглянул: Долохов стоял на подоконнике, лицо его было бледно и весело. – Пуста! Он кинул бутылку англичанину, который ловко поймал ее. Долохов спрыгнул с окна. От него сильно пахло ромом. – Отлично! Молодцом! Вот так пари! Чорт вас возьми совсем! – кричали с разных сторон. Англичанин, достав кошелек, отсчитывал деньги. Долохов хмурился и молчал. Пьер вскочил на окно. Господа! Кто хочет со мною пари? Я то же сделаю, – вдруг крикнул он. – И пари не нужно, вот что. Вели дать бутылку. Я сделаю… вели дать. – Пускай, пускай! – сказал Долохов, улыбаясь. – Что ты? с ума сошел? Кто тебя пустит? У тебя и на лестнице голова кружится, – заговорили с разных сторон. – Я выпью, давай бутылку рому! – закричал Пьер, решительным и пьяным жестом ударяя по столу, и полез в окно. Его схватили за руки; но он был так силен, что далеко оттолкнул того, кто приблизился к нему. – Нет, его так не уломаешь ни за что, – говорил Анатоль, – постойте, я его обману. Послушай, я с тобой держу пари, но завтра, а теперь мы все едем к***. – Едем, – закричал Пьер, – едем!… И Мишку с собой берем… И он ухватил медведя, и, обняв и подняв его, стал кружиться с ним по комнате. Князь Василий исполнил обещание, данное на вечере у Анны Павловны княгине Друбецкой, просившей его о своем единственном сыне Борисе. О нем было доложено государю, и, не в пример другим, он был переведен в гвардию Семеновского полка прапорщиком. Но адъютантом или состоящим при Кутузове Борис так и не был назначен, несмотря на все хлопоты и происки Анны Михайловны. Вскоре после вечера Анны Павловны Анна Михайловна вернулась в Москву, прямо к своим богатым родственникам Ростовым, у которых она стояла в Москве и у которых с детства воспитывался и годами живал ее обожаемый Боренька, только что произведенный в армейские и тотчас же переведенный в гвардейские прапорщики. Гвардия уже вышла из Петербурга 10 го августа, и сын, оставшийся для обмундирования в Москве, должен был догнать ее по дороге в Радзивилов. У Ростовых были именинницы Натальи, мать и меньшая дочь. С утра, не переставая, подъезжали и отъезжали цуги, подвозившие поздравителей к большому, всей Москве известному дому графини Ростовой на Поварской. Графиня с красивой старшею дочерью и гостями, не перестававшими сменять один другого, сидели в гостиной.