Как найти модуль упругости

Объёмный мо́дуль упру́гости

(модуль объёмного сжатия) — характеристика способности вещества сопротивляться всестороннему сжатию. Эта величина определяет, какое нужно приложить внешнее давление для уменьшения объёма в 2 раза К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)[
источник не указан 2012 дней
]. Например, у воды объёмный модуль упругости составляет около 2000 МПа — это означает, что для уменьшения объёма воды на 1 % необходимо приложить внешнее давление 20 МПа. С другой стороны, при увеличении внешнего давления на 0,1 МПа объём воды уменьшается на 1/20000 часть. Единицей измерения объёмного модуля упругости в Международной системе единиц (СИ) является паскаль (русское обозначение: Па; международное: Pa)[1].

Термодинамические соотношения

Строго говоря, объёмный модуль упругости является термодинамической величиной, и необходимо определить объёмный модуль упругости в зависимости от условий изменения температуры: при постоянной температуре (изотермический K_T), при постоянной энтропии (адиабатический K_S) и т. д. В частности, подобные различия обычно важны для газов.

В случае идеального газа изотермический и адиабатический модули объёмной упругости выражаются простыми формулами. Так, из уравнения изотермы идеального газа p = \frac {\mathrm{const}}{V} следует:

K_T=P\, .

Используя уравнение адиабаты p \, \cdot V^\gamma = \mathrm{const}, можно получить

K_S=\gamma P,

где \gamma — показатель адиабаты.

Приведённые уравнения, выполняющиеся точно для идеальных газов, применительно к реальным газам становятся приближёнными.

Для жидкостей объёмный модуль упругости K

и плотность
ρ
определяют скорость звука
c
(волны давления (
англ.
)), согласно формуле Ньютона-Лапласа
c=\sqrt{\frac{K}{\rho}}.

Коэффициент объемного сжатия

Гидравлика. Гидростатика

Основное назначение сборника – дать студентам материал, который позволит выработать навыки применения теоретических сведений к решению конкретных задач технического характера и тем самым освоить практику гидравлических расчётов.

Данный курс является основной теоретической дисциплиной для специальностей 2903, 2908, 2909, 1507, 1709.

Данный сборник содержит задачи по гидростатике и включает разделы: “Физические свойства жидкости”, “Гидростатическое давление” и “Относительный покой жидкости”.

Каждый раздел сборника содержит достаточно полные сведения из теории, касающейся материала данного раздела, методические указания и примеры решения некоторых типовых задач.

В четырёх приложениях даются материалы справочного характера, которые необходимы для решения задач.

Наличие в сборнике обширного и разнообразного материала позволяет составить индивидуальное задание для каждого студента.

После ознакомления с соответствующим теоретическим материалом и методическими указаниями по решению типовых задач, следует переходить к самостоятельному выполнению полученного задания.

Каждое задание состоит из нескольких задач, номера и варианты которых выдаются преподавателем. Задание выполняется на листах формата А4, необходимые чертежи выполняются с соблюдением выбранного масштаба.

ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ

Сведения из теории

Жидкостью называется физическое тело, обладающее двумя отличительными особенностями: незначительным изменением своего объема под действием больших внешних сил и текучестью, легкоподвижностью, т.е. изменением своей формы под действием даже незначительных внешних сил. Одной из основных механических характеристик жидкости является плотность.

Плотность.

Плотностью r (кг/м 3 ) называется масса единицы объема жидкости:

, (1.1)

где m –

масса жидкого тела, кг;
W
– объем, м 3 .

Плотность жидкостей уменьшается с увеличением температуры. Исключение представляет вода в диапазоне температур от 0 до 4 0 С, когда ее плотность увеличивается, достигая наибольшего значения при температуре 4 0 С r =

1000 кг/м 3 .

Удельный вес

Удельным весом g (Н/м 3 ) жидкости называется вес единицы объема этой жидкости:

, (1.2)

где G

– вес жидкого тела, Н;
W
– объем, м 3 .

Для воды при температуре 4 0 С g =

9810 Н/м 3 .

Между плотностью и удельным весом существует связь:

, (1.3)

где g

– ускорение свободного падения, равное 9,81 м/с 2 .

Сопротивление жидкостей изменению своего объема под действием давления и температуры характеризуется коэффициентами объемного сжатия и температурного расширения.

Коэффициент объемного сжатия

Коэффициент объемного сжатия b w (Па -1 ) – это относительное изменение объема жидкости при изменении давления на единицу:

, (1.4)

где D W

– изменение объема
W
; D r – изменение плотности r , соответствующие изменению давления на величину D
p
.

Величина, обратная коэффициенту объемного сжатия, называется модулем упругости жидкостей

(Па)

. (1.5)

Значение модуля упругости жидкостей зависит от давления и температуры. Если принять, что приращение давления , а изменение объема то:

; (1.6)

. (1.7)

1.1.4. Коэффициент температурного расширения

  1. Коэффициент температурного расширения b t
    ( 0 С) -1 , выражает относительное изменение объема жидкости при изменении температуры на один градус:

, (1.8)

где D W

– изменение объема
W
, соответствующее изменению температуры на величину D
t
.

Коэффициент температурного расширения воды увеличивается с возрастанием температуры и давления; для большинства других капельных жидкостей b t

с увеличением давления уменьшается. Если принять, что приращение температуры D
t
=
t – t
0, а изменение объема

; (1.9)

. (1.10)

Вязкостью называется свойство жидкости оказывать сопротивление перемещению одной части жидкости относительно другой. Вязкость проявляется только при движении жидкости и сказывается на распределении скоростей по живому сечению потока (рис. 1.1).

Согласно гипотезе Ньютона сила внутреннего трения F

в жидкостях пропорциональна градиенту изменения скорости , площади соприкосновенияслоев
S
, зависит от рода жидкости и очень незначительно зависит от давления.

, (1.11)

где S –

площадь соприкасающихся слоев, м 2 ;
du –
скорость смещения слоя “
b
” относительно слоя “
a
“, м/с;
dy –
расстояние, на котором скорость движения слоев изменилась на
du
, м;

градиент скорости, изменение скорости по нормали к направлению движения (с -1 ); m – коэффициент динамической вязкости (Па · с).

Если силу трения F

отнести к единице площади соприкасающихся слоев, то получим величину касательного напряжения t , и тогда (1.11) примет вид:

. (1.12)

Из (1.12) следует, что коэффициент динамической вязкости может быть определен как:

. (1.13)

Из (1.13) нетрудно установить физический смысл коэффициента динамической вязкости. При градиенте скорости =

1
; m
= t и выражает силу внутреннего трения, приходящуюся на единицу площади поверхности соприкасающихся слоев жидкости.

В практике, для характеристики вязкости жидкости, чаще применяют не коэффициент динамической вязкости, а коэффициент кинематической вязкости n (м 2 /с). Коэффициентом кинематической вязкости называется отношение коэффициента динамической вязкости к плотности жидкости:

. (1.14)

Вязкость жидкости зависит от рода жидкости, от температуры и от давления.

Зависимость вязкости минеральных масел, применяемых в гидросистемах, от давления p

при возрастании его до 50 МПа, можно определять с помощью приближенной эмпирической формулы:

, (1.15)

где n p

и
n
– кинематическая вязкость соответственно при давлении
p
и 0,1 МПа;
K
– опытный коэффициент, зависящий от марки масла: для легких масел (n 50 -6 м 2
/
с)
К =
0,02, для тяжелых масел (n
50
> 15 10 -6 м 2
/
с)
К =
0,03. При незначительных давлениях изменением вязкости пренебрегают. С повышением температуры вязкость жидкости уменьшается. Зависимость коэффициента кинематической вязкости от температуры определяется по эмпирической формуле:

.

(1.16)

Для смазочных масел, применяемых в машинах и гидросистемах, рекомендуется следующая зависимость:

, (1.17)

где n t – кинематическая вязкость при температуре t; n 50 –

кинематическая вязкость при температуре 50
0
С;
n
– показатель степени, зависящий от n 50, определяемый по формуле:

. (1.18)

Вязкость жидкости определяют при помощи вискозиметра Энглера и выражают в градусах Энглера ( 0 Е). Градус Энглера ( 0 Е) есть отношение времени истечения испытуемой жидкости ко времени истечения дистиллированной воды. Для перехода от вязкости в градусах Энглера к коэффициенту кинематической вязкости n применяется формула Убеллоде:

. (1.19)

Вязкость также определяют капиллярным вискозиметром Оствальда. Коэффициент кинематической вязкости в этом случае определяют по формуле:

, (1.20)

где с

– постоянная прибора;

– время истечения жидкости, с.

Дата добавления: 2015-12-08 ; ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Некоторые значения

Приблизительные значения объёмного модуля упругости (К) для некоторых материалов

МатериалОбъёмный модуль упругости в ГПаОбъёмный модуль упругости в фунт-силе на квадратный дюйм
Стекло (см. также диаграмму ниже таблицы)от 35 до 555,8×103
Сталь16023×103
Алмаз[2]44264×103


Приблизительный значения объёмного модуля упругости (K) для других веществ

Вода2,2×109 Па (значение возрастает при более высоких давлениях)
Воздух1,42×105 Па (Адиабатический объёмный модуль упругости)
Воздух1,01×105 Па (объёмный модуль упругости при постоянной температуре)
Твёрдый гелий5×107 Па (приблизительно)

Физические свойства жидкостей

Глава 1. ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ

Основными физическими свойствами жидкости являются: текучесть, плотность, удельный вес, вязкость, сжимаемость, температурное расширение.

Плотность жидкости – физическая величина, численно равная отношению массы жидкости к ее объёму.

(1.1)

где r

– плотность жидкости,
кг
/
м
3 ;

m

– масса жидкости;
кг
;

W

– объём жидкости,
м
3 .

Удельный вес – физическая величина, численно равная отношению веса жидкости к ее объёму.

(1.2)

где g

– удельный вес жидкости,
Н
/
м
3 ;

Между удельным весом g

и плотностью
r
имеется зависимость

(1.3

где g

= 9,81
м
/
с
2 – ускорение свободного падения.

Значения r

и
g
для воды и некоторых других жидкостей при различной температуре приведены в приложении 1.

Вязкость – свойство жидкости оказывать сопротивление относительному сдвигу смежных слоёв. Вязкость характеризуется коэффициентами динамической вязкости m

,
Па×с
, и
кинематической вязкости n
,
м
/
с
. Между этими коэффициентами имеется зависимость

(1.4)

Значения коэффициентов динамической и кинематической вязкости для некоторых жидкостей приведены в приложении 2.

Сжимаемость – свойство жидкости изменять свой объём при изменении давления. Сжимаемость характеризуется коэффициентом объёмного сжатия b

w, который можно определить по формуле

(1.5)

где b

w – коэффициент объёмного сжатия, 1/
Па
;

W

– первоначальный объём жидкости,
м
3 ;

DW

– изменение объёма жидкости,
м
3 ;

Dp

– изменение давления,
Па
.

Величина, обратная коэффициенту объёмного сжатия, называется модулем объёмной упругости К

. Модуль объёмной упругости измеряется в
Па
.

(1.6)

Коэффициенты объёмного сжатия жидкостей мало меняются при изменении температуры и давления. Значение коэффициентов объёмного сжатия и модулей упругости для некоторых жидкостей приведены в приложении 3.

Температурное расширение – свойство жидкости изменять свой объём при изменении температуры. Температурное расширение характеризуется коэффициентом температурного расширения , который может быть определен из выражения

(1.7)

где – коэффициент температурного расширения, 1/К

;

W

– первоначальный объём жидкости,
м
3 ;

– изменение объёма жидкости, м

3 ;

– изменение температуры, К

.

Коэффициенты температурного расширения для некоторых жидкостей приведены в приложении 4.

Задачи

1.1. Определить массу воды в рукаве диаметром 51 мм

и длиной 20
м.
Решение. Масса воды определяется из формулы (1.1)

Плотность воды по приложению 1

1.2. Определить вес воды в рукавах диаметром 66 мм

и 77
мм
и дли-ной 20
м
.

1.3. Определить массу дизельного мазута, находящегося в цистерне объёмом 50 м

3 , если плотность мазута составляет 920
кг
/
м
3 .

1.4. Определить, какой объём займет нефть, имеющая массу 20×10 3 кг

и плотность 900
кг
/
м
3 .

1.5. Определить плотность нефтепродуктов, если их масса составляет 17,5×10 3 кг

, объём 20
м
3 .

1.6. Определить вес этилового спирта в объёме 20 литров.

1.7. Уровень мазута в вертикальном цилиндрическом баке диаметром 2 м

понизился на 0,5
м
. Определить массу израсходованного мазута, если его плотность при температуре 20 °
С
равна 990
кг
/
м
3 .

1.8. При гидравлических испытаниях допускается утечка воды, которая за одни сутки не должна превышать 3 л

с квадратного метра смоченной поверхности. Возможно ли принять в эксплуатацию резервуар прямоугольной формы, имеющий размеры в плане 12´6
м
, в котором уровень воды за одни сутки понизился с 3,5
м
до 3,48
м
. Определить массу убывшей воды.

Решение. Объём убывшей воды составил

Масса убывшей воды

Площадь смоченной поверхности

Утечка воды с одного квадратного метра смоченной поверхности при гидравлических испытаниях

что превышает установленную норму.

1.9. Определить, возможно ли принять в эксплуатацию цилиндрический резервуар диаметром 12 м

, в котором уровень воды за одни сутки понизился с 5
м
до 4,985
м
.

1.10. Определить предельную массу воды, убывшей за одни сутки в результате гидравлических испытаний цилиндрического резервуара диаметром 18 м

. Определить предельное снижение уровня воды, если первоначальный уровень составлял 3,9
м
.

1.11. Определить коэффициент динамической вязкости нефти, если коэффициент кинематической вязкости составляет 0,624×10 -4 м

2 /
с
. Плотность нефти 750
кг
/
м
3 .

1.12. Водовод пожарного водопровода диаметром 300 мм

и длиной 50
м
, подготовленный к гидравлическим испытаниям, заполнен водой при атмосферном давлении. Определить объём воды, которую необходимо дополнительно подать в водовод, чтобы избыточное давление в нем поднялось до 5
МПа
. Деформацией труб водовода пренебречь.

Решение. Из уравнения (1.5) находим, что объём воды, который необходимо дополнительно подать в водовод, определяется как

Коэффициент объёмного сжатия воды

Первоначальный объём воды

1.13. При гидравлическом испытании технологического трубопровода длиной 200 м

и диаметром 250
мм
, заполненного керосином, давление было поднято до 1,5
МПа
. Через один час давление упало до 1,0
МПа
. Определить объём вытекшего через неплотность керосина. Коэффициент объёмного сжатия керосина принять = 80×10 -11 1/
Па
. Деформацией трубопровода пре- небречь.

1.14. Манометр на технологической емкости, полностью заполненной нефтью, показывает 0,5 МПа

. При выпуске 40
л
нефти показания манометра упали до 0,1
МПа
. Определить объём ёмкости, если коэффициент объёмного сжатия нефти = 80×10 -11 1/Па.

1.15. В вертикальном цилиндрическом резервуаре диаметром 5 м

находится 1,2×10 5
кг
нефти, плотность которой при 0 °
С
составляет 800
кг
/
м
3 . Определить колебания уровня нефти в резервуаре при изменении температуры от 0 °
С
до 30 °
С
.

1.16. Определить колебания уровня воды в баке водонапорной башни при изменении температуры от 10 °С

до 35 °
С
. В водонапорном баке диаметром 3
м
находится 20
м
3 воды. Коэффициент температурного расширения воды принять равным 2×10 -4 1/
К
.

1.17. Предельная высота уровня бензола в вертикальном цилиндрическом резервуаре диаметром 12 м

равна 10
м
при температуре 10 °
С
. Определить, до какого уровня возможно налить бензол при возможном повышении температуры до 30 °
С
. Расширением резервуара пренебречь.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения:
Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете.
8406 – | 7319 – или читать все.

193.151.241.65 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock! и обновите страницу (F5)

очень нужно

Примечания

  1. [hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/permot3.html Bulk Elastic Properties]. hyperphysics
    . Georgia State University. [www.webcitation.org/6AIhR7XkB Архивировано из первоисточника 30 августа 2012].
  2. (1985) «Calculation of bulk moduli of diamond and zinc-blende solids». Phys. Rev. B32
    : 7988–7991. DOI:10.1103/PhysRevB.32.7988. Bibcode: [adsabs.harvard.edu/abs/1985PhRvB..32.7988C 1985PhRvB..32.7988C].
  3. Fluegel, Alexander
    [www.glassproperties.com/bulk_modulus/ Bulk modulus calculation of glasses].
    glassproperties.com
    . [www.webcitation.org/6AIhRZh2a Архивировано из первоисточника 30 августа 2012].
п • о • р

Модули упругости для гомогенных изотропных материалов

Объёмный модуль упругости (K) | Модуль Юнга (E) | Параметры Ламе (\lambda) | Модуль сдвига (G) | Коэффициент Пуассона (\nu) | en:P-wave modulus (M)

Отрывок, характеризующий Объёмный модуль упругости

– Ежели кто ко мне еще будет соваться, – сказал он, редко пропуская слова сквозь стиснутые и тонкие губы, – я того сейчас спущу вот сюда. Ну!… Сказав «ну»!, он повернулся опять, отпустил руки, взял бутылку и поднес ко рту, закинул назад голову и вскинул кверху свободную руку для перевеса. Один из лакеев, начавший подбирать стекла, остановился в согнутом положении, не спуская глаз с окна и спины Долохова. Анатоль стоял прямо, разинув глаза. Англичанин, выпятив вперед губы, смотрел сбоку. Тот, который останавливал, убежал в угол комнаты и лег на диван лицом к стене. Пьер закрыл лицо, и слабая улыбка, забывшись, осталась на его лице, хоть оно теперь выражало ужас и страх. Все молчали. Пьер отнял от глаз руки: Долохов сидел всё в том же положении, только голова загнулась назад, так что курчавые волосы затылка прикасались к воротнику рубахи, и рука с бутылкой поднималась всё выше и выше, содрогаясь и делая усилие. Бутылка видимо опорожнялась и с тем вместе поднималась, загибая голову. «Что же это так долго?» подумал Пьер. Ему казалось, что прошло больше получаса. Вдруг Долохов сделал движение назад спиной, и рука его нервически задрожала; этого содрогания было достаточно, чтобы сдвинуть всё тело, сидевшее на покатом откосе. Он сдвинулся весь, и еще сильнее задрожали, делая усилие, рука и голова его. Одна рука поднялась, чтобы схватиться за подоконник, но опять опустилась. Пьер опять закрыл глаза и сказал себе, что никогда уж не откроет их. Вдруг он почувствовал, что всё вокруг зашевелилось. Он взглянул: Долохов стоял на подоконнике, лицо его было бледно и весело. – Пуста! Он кинул бутылку англичанину, который ловко поймал ее. Долохов спрыгнул с окна. От него сильно пахло ромом. – Отлично! Молодцом! Вот так пари! Чорт вас возьми совсем! – кричали с разных сторон. Англичанин, достав кошелек, отсчитывал деньги. Долохов хмурился и молчал. Пьер вскочил на окно. Господа! Кто хочет со мною пари? Я то же сделаю, – вдруг крикнул он. – И пари не нужно, вот что. Вели дать бутылку. Я сделаю… вели дать. – Пускай, пускай! – сказал Долохов, улыбаясь. – Что ты? с ума сошел? Кто тебя пустит? У тебя и на лестнице голова кружится, – заговорили с разных сторон. – Я выпью, давай бутылку рому! – закричал Пьер, решительным и пьяным жестом ударяя по столу, и полез в окно. Его схватили за руки; но он был так силен, что далеко оттолкнул того, кто приблизился к нему. – Нет, его так не уломаешь ни за что, – говорил Анатоль, – постойте, я его обману. Послушай, я с тобой держу пари, но завтра, а теперь мы все едем к***. – Едем, – закричал Пьер, – едем!… И Мишку с собой берем… И он ухватил медведя, и, обняв и подняв его, стал кружиться с ним по комнате. Князь Василий исполнил обещание, данное на вечере у Анны Павловны княгине Друбецкой, просившей его о своем единственном сыне Борисе. О нем было доложено государю, и, не в пример другим, он был переведен в гвардию Семеновского полка прапорщиком. Но адъютантом или состоящим при Кутузове Борис так и не был назначен, несмотря на все хлопоты и происки Анны Михайловны. Вскоре после вечера Анны Павловны Анна Михайловна вернулась в Москву, прямо к своим богатым родственникам Ростовым, у которых она стояла в Москве и у которых с детства воспитывался и годами живал ее обожаемый Боренька, только что произведенный в армейские и тотчас же переведенный в гвардейские прапорщики. Гвардия уже вышла из Петербурга 10 го августа, и сын, оставшийся для обмундирования в Москве, должен был догнать ее по дороге в Радзивилов. У Ростовых были именинницы Натальи, мать и меньшая дочь. С утра, не переставая, подъезжали и отъезжали цуги, подвозившие поздравителей к большому, всей Москве известному дому графини Ростовой на Поварской. Графиня с красивой старшею дочерью и гостями, не перестававшими сменять один другого, сидели в гостиной.

Рейтинг
( 1 оценка, среднее 4 из 5 )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Для любых предложений по сайту: [email protected]