Понятия и определения
Знак треугольника в первом веке ввёл в обиход древнегреческий философ и учёный Герон. Его свойства изучали Платон и Евклид. По их мнению, вся поверхность прямолинейного вида состоит из множеств различных треугольников. В геометрии под ними понимается область, лежащая в плоскости, ограниченной тремя отрезками, соединяющимися в трёх точках, не принадлежащих одной прямой.
Линии, образующие область, называются сторонами, а точки соприкосновения отрезков — вершинами. Основными элементами многоугольника являются:
- Медиана — отрезок, соединяющий середину с противолежащим углом. В треугольнике три медианы, которые пересекаются в одной точке. Называется она центроидом и определяет центр тяжести объекта.
- Высота — линия, опущенная из вершины на противоположную сторону, образующую с ней прямой угол. Место пересечения высот называют ортоцентром.
- Биссектриса — прямая, проведённая из угла таким образом, что делит его на две равные части. Если в треугольник вписать окружность, соприкасающуюся с его сторонами, то её центр совпадёт с точкой пересечения биссектрис. Называют это место — инцентр.
В зависимости от видов углов, треугольники разделяют на остроугольные, тупоугольные и прямоугольные. Но каким бы ни был тип фигуры, существует закономерность, что сумма всех углов всегда равна 180 градусам. Поэтому как минимум два угла должны быть острыми.
Различают треугольники и по числу равных сторон. Так, если они все равны, фигура называется равносторонней. Когда же по величине совпадают только две стороны, то многоугольник является равнобедренным. Его главное свойство в том, что углы равны. Частным случаем равнобедренного многоугольника является правильный треугольник (разносторонний).
Чтобы не возникала путаница, существуют стандартные обозначения величин. Вершины подписываются заглавными буквами A, B, C, а углы — греческими символами: α, β, γ. Стороны же обозначают прописными буквами латинского алфавита: a, b, c.
Свойства прямоугольного треугольника
Прямоугольный треугольник — это симметричный многоугольник, сумма двух углов которого равняется 90 градусов. Так как общая сумма всех трёх углов составляет 180 градусов, то соответственно третий угол равен 90 градусам. Стороны, образующие его, называют катетами, а оставшийся отрезок гипотенузой.
К основным свойствам фигуры относят следующее:
- гипотенуза многоугольника всегда больше любого из его катетов;
- сторона, располагающаяся напротив угла в 30 градусов, составляет половину гипотенузы;
- два катета являются высотами треугольника;
- середина окружности, описанная вокруг фигуры, совпадает с гипотенузой, при этом медиана, опущенная из прямого угла на гипотенузу, одинаковая с радиусом круга;
- численное значение гипотенузы, возведённое в квадрат, равно сумме квадратов катетов (теорема Пифагора).
Эти основные признаки при решении геометрических задач помогают определить класс треугольника и рассчитать его величины. Большое значение при этом имеет вычисление значений катетов.
Так, если известна гипотенуза, то найти катеты, зная угол, не составит труда. Определив же длину катетов, вычислить оставшуюся сторону можно по теореме Пифагора. Периметр фигуры определяют сложением двух катетов и гипотенузы, а площадь находят перемножением катетов и делением полученного ответа на два.
Зная катеты, довольно просто вычислить угол. Нужно всего лишь запомнить, что соотношение сторон между собой равно тангенсу противолежащего угла и котангенсу, находящемуся рядом. При этом, зная любой из углов, найти второй можно простым вычитанием известного значения из девяноста. Высота же у прямоугольника равна косинусу прилежащего угла.
Формула для нахождения биссектрисы и медианы довольно сложная. Для нахождения первой величины используют преобразование радикала из суммы квадратов катетов к двум, а второй — подстановку радикала вместо стороны, лежащей напротив прямого угла.
Способы контроля
Контроль сварочных швов – неотъемлемая часть технологического процесса. Прежде всего, соединение необходимо исследовать на устойчивость к разрушающим нагрузкам. Формы контроля могут быть разными. Они зависят от принципов, на которых основываются. К передовым методам относится радиография, рентгенография, облучение гамма-лучами, ультразвуковой и вихретоковый контроль. Сюда же следует добавить магнитное зондирование, а также капиллярный способ исследования швов. Представленные виды контроля требуют наличия дорогостоящей аппаратуры и не всегда могут быть реализованы, особенно в условиях мелкого производства.
В качестве подручного прибора для измерения катетов может служить готовый шаблон. Если быть точным, то практическое значение имеет не один шаблон, а целый набор.
В самой простой конструкции шаблон представляет собой набор пластин, скрепленных одним концом. На другом конце выполнены прорези, соответствующие форме поперечного среза шва. Мастер поочередно прикладывает шаблоны к заготовке и определяет максимально соответствующий из них. На каждом шаблоне нанесен размер соответствующего катета.
Существует еще несколько приборов, которые по своему принципу действия представляют шаблоны, только способ измерения катетов у них несколько отличается. Шаблон Красовского предназначен для определения зазоров между заготовками. Универсальный шаблон сварщика (УНС-2) – набор пластин с вырезами. По форме выпуклой гипотенузе можно определить длину катетов. Шаблон Маршака-Ушерова позволяет измерить не только катет, но и определить корень шва. Этот прибор считается самым универсальным из всех описанных выше.
Теорема Пифагора и углы
Эта теорема занимает одно из центральных мест в математике. Алгебраическая формулировка её гласит, что в прямоугольнике квадрат длины гипотенузы по своему значению равен сумме квадратов двух прилегающих к ней сторон, то есть катетов. Например, если обозначить гипотенузу буквой c, а катеты а и b, то математически её можно записать в виде формулы: a2+b2 = c2.
Существует несколько доказательств этой теоремы. Самое простое из них — это использование подобия треугольников. В его основе лежат аксиомы. Пусть имеется геометрическая фигура ABC, у которой вершина C является прямой, то есть её угол равен 90 градусов. Если из точки С опустить высоту, а место пересечения с противолежащей стороной обозначить H, то получится два треугольника. Один будет состоять из вершин AHC, а другой BHC. Эти новые фигуры подобны ABC по двум углам. Следующие выражения будут верными:
- BC/AB = HB/BC;
- AC/AB = AH/AC.
Приведённые записи эквивалентны равенствам: BC2 = AB * HB; AC2 = AB * AH. Сложив первую и вторую формулу, получается: BC2 + AC2 = AB * (HB + AH) = AB2. Что и следовало доказать.
Используя это фундаментальное правило и свойство, что катет, расположенный напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, проводят множество расчётов, связанных с вычислением длин сторон. Для доказательства, что AC = BC/2, приводят следующие рассуждения.
Так как вершина B равна 30 градусам, то, согласно правилу, разворот С должен составлять C =30*2 = 60 градусов. К имеющемуся треугольнику можно приложить точно такую же фигуру, делая сторону AB центром симметрии. Тогда для многоугольника BCD будет справедливо, что B = D = 60º. Исходя из этого можно утверждать, что DC = BC. Но, так как AC = ½ DC, то соответственно AC = ½ BC.
Но не всегда известны все данные, необходимые для нахождения длины катета по приведённым теоремам. Поэтому для вычисления катетов используются и тригонометрические соотношения.
Расчет
В строгом смысле для определения величины катета шва необходимо учитывать целый ряд факторов. Наиболее значимым из них является толщина заготовки. Даже начинающему мастеру известно, что геометрия сварного шва напрямую зависит от необходимой глубины провара. Эта зависимость несколько усложняется, если приходится соединять две детали разной толщины.
К дополнительным факторам относятся такие, как положение электрода, тип соединения, физические свойства металла. Полный расчет сварного соединения подразумевает использование целого ряда сложных формул. На практике, если на металлоконструкцию не будут действовать сверхвысокие нагрузки, используют упрощенные принципы расчета.
К примеру, при соединении двух деталей одинаковой толщины катет считается равным кромке детали. Если толщина материала различна, то ориентируются на параметры более тонкой заготовки. Еще раз напомним, что ошибки в расчете приводят к нежелательным последствиям. Чрезмерно малый катет ославляет прочность сварного шва, в то время как большой катет может стать причиной внутренних напряжений в металле.
Приведенный метод расчета справедлив для средних показателей толщины материала. Увеличение толщины приводит к нарушению линейной зависимости между указанными параметрами. Достаточно толстые детали свариваются швом с катетом, размер которого составляет 40% от толщины. Как видно из примера, соблюдать такую сложную зависимость проблематично, тем не менее, размер катета – величина, определенная стандартом ГОСТ 5264-80.
В ряде случаев приближенное значение катета дает слишком большую погрешность, поэтому принято пользоваться упрощенной формулой. Они имеет следующий вид:
T=Scos45°, где Т – величина катета, а S – ширина шва. Поскольку мы иллюстрировали геометрические параметры, то в наших обозначениях эта формула будет иметь вид: K=ecos45°. Учитывая то, что косинус угла – есть величина постоянная, приходим к выводу, что и в данном случае катет линейно «привязан» к такому параметру, как ширина сварного шва (но не толщина кромки).
Тригонометрические формулы
Для нахождения длины катета прямоугольного треугольника используют простые формулы. Для их применения нужно знать значение любой из сторон и величину разворота произвольной вершины. Существует четыре способа, позволяющих найти катет с использованием тригонометрических правил:
- В основе лежит аксиома, что синус находится из отношения противолежащего катета к гипотенузе. Например, пусть известно что длина гипотенузы составляет 100 сантиметров, а вершина A имеет разворот равный 30 градусам. Используя тригонометрические таблицы, можно утверждать, что синус угла A составляет ½. Учитывая преобразованное выражение, находят катет: a = 100 / 2 =50 (см). Таким образом, синус острого угла численно равен отношению одного из катетов, деленного на гипотенузу: sin A = BC/AB.
- Используется правило, что косинус в прямоугольнике представляет собой отношение прилежащего катета к прямому углу и гипотенузе: cosA = AC/AB. Например, пусть разворот вершины C равен 60 градусам, а гипотенуза равна 100 сантиметрам. Согласно тригонометрической таблице, угол в 60 градусов равен ½. Подставив это значение в формулу, можно найти значение катета: a=cos∠C*a; b=½*100=50 сантиметров.
- Тангенс угла можно вычислить, разделив значение длины противолежащего катета к прилежащему. Математическая формула этого утверждения имеет вид: tg = BC/AC. Катет многоугольника может быть найден как b = tg * a. Например, известно, что у фигуры один из углов равен 45 градусов, а длина гипотенузы составляет 100 сантиметров. Так как тангенс 45 градусов равен единице, то ответом на задачу будет: a = 1*100 = 100 сантиметров.
- Котангенс определяется из соотношения прилежащего катета к противолежащему. Фактически это величина, обратная тангенсу: ctg = AC/BC. Например, пусть разворот угла A составляет 30 градусов, а длина катета, находящегося напротив него, равняется 50 сантиметрам. Котангенс 30 градусов соответствует корню из трёх. Подставив в формулу известные данные, можно вычислить неизвестный катет: b =50√3 сантиметров.
Зная, как выглядят тригонометрические формулы и содержание двух теорем, вычислить значение катета можно будет в большинстве поставленных задач.
Типовые примеры
Для решения задач на нахождение катета не нужно обладать какими-то особенными знаниями. Нужно просто внимательно проанализировать условие. Например, пусть известно, что в прямоугольнике один катет длиннее другого на пять сантиметров. При этом площадь фигуры равняется 84 сантиметрам в квадрате. Необходимо определить длины сторон и периметр.
Так как в условии дана площадь, то при решении необходимо отталкиваться от неё. Известно, что площадь прямоугольного треугольника находится по формуле: S = AC*CB/2. Это выражение является частным случаем общей формулы для нахождения площади любого треугольника, где: AC — это высота, а CB — основание. Если принять, что AC равно X, то, согласно условию, длина CB будет составлять x+5.
Исходя из этого, площадь треугольника будет равна: S = (x*(x+5))/2. Подставив вместо S заданное значение, можно получить квадратное уравнение: x2 + 5x — 84 = 0. Решать его лучше методом детерминанта. Корнями уравнения будут -12 и 7. Так как -12 не удовлетворяет условию задачи, то верным ответом будет семь.
Длина второго катета равняется семи сантиметрам. Первого: AC = 7−5 = 2 см. Зная оба катета, по теореме Пифагора можно найти гипотенузу: c = (22 + 72)½ = (4+49)½ = 531/2 = 7,3 см. Найдя длины всех сторон, можно без усилий найти периметр обыкновенным сложением: P = 2+7+7,3 = 16,3 см. Задача решена.
Довольно интересные, но в то же время простые задачи на нахождение сторон и углов при известной длине гипотенузы и значения разворота одной из вершин. Пусть имеется прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза BC равняется пяти сантиметрам, а угол между ней и катетом составляет 60 градусов. Нужно определить все остальные стороны и углы.
Так как известна гипотенуза и острый угол, то, воспользовавшись тригонометрическими формулами, можно найти длины катетов: AC=BC*sin60 = 5*(3)½/2; AB=BC*cos60 = 5/2. Сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусов, так как один из них прямой, а второй задан и составляет 60 градусов, то третий находится путём вычитания C = 180 — (90 + 60) = 30.
Примеры решения задач
Задача №1:
В треугольнике АВС с ∠А=90 градусов, ∠С=60 градусов и катетом АВ=5 см. Найти длину катета АС.
Решение:
В прямоугольном треугольнике АВС найдем угол В:
∠В=90о — ∠С=90о — 60о = 30о
Поскольку ∠В=30 о, то катет АВ равен половине гипотенузы ВС, а значит,
ВС=2АВ=10 см
Длину катета АС найдем с помощью теоремы Пифагора:
Задача №2:
В равнобедренном и прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза больше катета на 2 см. Найти длину сторон треугольника.
Решение:
В треугольной фигуре АВС обозначим катеты АВ=АС=х, тогда ВС=2+х. Запишем теорему Пифагора для данного треугольника:
ВС2= АВ2 + АС2 => (х+2)2 = х2 + х2 или х2 – 4х – 4 = 0
Решая это уравнение и учитывая условия задачи, получим
х= (2+2) см
т.е. АВ = АС = (2+2) см, ВС = (4+2) см
Ответ: АВ = АС = (2+2) см, ВС = (4+2) см
Как видите, процесс решения геометрических задач по нахождению катета в прямоугольном треугольнике не особо сложный. Нужно просто приложить усилия, посидеть и вникнуть в суть задачи. Когда начнете писать формулы, решение придет к вам само. Удачи в решении задачек по геометрии, теперь вы знаете, как найти катет прямоугольного треугольника.
